Q. गणितीय तर्कशास्त्र क्या है?
Ans. गणितीय तर्कशास्त्र गणित की वह शाखा है जिसमें कथनों, उनके सत्य-मूल्य और तार्किक निष्कर्षों का अध्ययन किया जाता है।
Q. कथन (Statement) किसे कहते हैं?
Ans. ऐसा घोषणात्मक वाक्य जिसका सत्य या असत्य होना निश्चित हो, कथन कहलाता है।
Q. क्या प्रश्नवाचक वाक्य एक कथन है?
Ans. नहीं। प्रश्नवाचक वाक्य का सत्य-मूल्य निश्चित नहीं होता, इसलिए वह गणितीय तर्क में कथन नहीं है।
Q. सत्य-मूल्य क्या होता है?
Ans. किसी कथन का सत्य या असत्य होना उसका सत्य-मूल्य कहलाता है।
Q. निषेध (Negation) क्या है?
Ans. किसी कथन p का निषेध ¬p ऐसा कथन है जो p के सत्य होने पर असत्य और p के असत्य होने पर सत्य होता है।
Q. संयोजन (Conjunction) क्या है?
Ans. दो कथनों p और q का संयोजन p ∧ q है, जो तभी सत्य होता है जब दोनों कथन सत्य हों।
Q. वियोजन (Disjunction) क्या है?
Ans. दो कथनों p और q का वियोजन p ∨ q है, जो कम-से-कम एक कथन सत्य होने पर सत्य होता है।
Q. यदि p सत्य और q असत्य है, तो p ∧ q का सत्य-मूल्य क्या होगा?
Ans. p ∧ q असत्य होगा, क्योंकि संयोजन तभी सत्य होता है जब दोनों कथन सत्य हों।
Q. यदि p असत्य और q सत्य है, तो p ∨ q का सत्य-मूल्य क्या होगा?
Ans. p ∨ q सत्य होगा, क्योंकि कम-से-कम एक कथन सत्य है।
Q. सांकेतिक कथन p → q का अर्थ क्या है?
Ans. p → q का अर्थ है यदि p, तो q। यह केवल तब असत्य होता है जब p सत्य और q असत्य हो।
Q. द्विशर्तीय कथन p ↔ q कब सत्य होता है?
Ans. जब p और q दोनों के सत्य-मूल्य समान हों, तब p ↔ q सत्य होता है।
Q. तात्त्विक सत्य (Tautology) क्या है?
Ans. ऐसा संयुक्त कथन जो सभी संभावित सत्य-मूल्यों के लिए सत्य हो, तात्त्विक सत्य कहलाता है।
Q. विरोधाभास (Contradiction) क्या है?
Ans. ऐसा संयुक्त कथन जो सभी संभावित सत्य-मूल्यों के लिए असत्य हो, विरोधाभास कहलाता है।
Q. समतुल्य कथन किसे कहते हैं?
Ans. दो कथन तार्किक रूप से समतुल्य होते हैं यदि उनके सत्य-मूल्य प्रत्येक स्थिति में समान हों।
Q. De Morgan के नियम लिखिए।
Ans. ¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q) तथा ¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q)।
Q. प्रतिलोम (Converse) कथन क्या है?
Ans. यदि मूल कथन p → q है, तो उसका प्रतिलोम q → p होता है।
Q. विपरीत (Inverse) कथन क्या है?
Ans. यदि मूल कथन p → q है, तो उसका विपरीत ¬p → ¬q होता है।
Q. प्रतिधनात्मक (Contrapositive) कथन क्या है?
Ans. यदि मूल कथन p → q है, तो उसका प्रतिधनात्मक ¬q → ¬p होता है।
Q. क्या किसी कथन का प्रतिधनात्मक उसके मूल कथन के समतुल्य होता है?
Ans. हाँ। p → q और ¬q → ¬p तार्किक रूप से समतुल्य होते हैं।
Q. पर्याप्त और आवश्यक शर्त में क्या अंतर है?
Ans. p → q में p, q के लिए पर्याप्त शर्त है और q, p के लिए आवश्यक शर्त है।