Q. क्रमचय (Permutation) क्या है?
Ans. वस्तुओं को किसी निश्चित क्रम में व्यवस्थित करने की प्रक्रिया क्रमचय कहलाती है। इसमें क्रम महत्वपूर्ण होता है।
Q. संचय (Combination) क्या है?
Ans. वस्तुओं के समूह का चयन करना संचय कहलाता है। इसमें चयनित वस्तुओं का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता।
Q. क्रमचय और संचय में मुख्य अंतर क्या है?
Ans. क्रमचय में क्रम महत्वपूर्ण होता है, जबकि संचय में केवल चयन महत्वपूर्ण होता है।
Q. फैक्टोरियल किसे कहते हैं?
Ans. किसी धनात्मक पूर्णांक n का फैक्टोरियल n! = n × (n−1) × ... × 2 × 1 होता है।
Q. 0! का मान कितना होता है?
Ans. 0! = 1 होता है।
Q. 5! का मान ज्ञात कीजिए।
Ans. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120।
Q. n वस्तुओं को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कितने तरीके हैं?
Ans. यदि सभी n वस्तुएँ अलग-अलग हैं, तो उन्हें n! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
Q. n वस्तुओं में से r वस्तुओं का क्रमचय सूत्र क्या है?
Ans. nPr = n!/(n−r)!, जहाँ 0 ≤ r ≤ n।
Q. n वस्तुओं में से r वस्तुओं के संचय का सूत्र क्या है?
Ans. nCr = n!/[r!(n−r)!], जहाँ 0 ≤ r ≤ n।
Q. 5 वस्तुओं में से 2 वस्तुओं का क्रमचय कितना है?
Ans. 5P2 = 5!/(5−2)! = 5 × 4 = 20।
Q. 5 वस्तुओं में से 2 वस्तुओं का संचय कितना है?
Ans. 5C2 = 5!/(2!3!) = 10।
Q. nC0 का मान क्या होता है?
Ans. nC0 = 1, क्योंकि n वस्तुओं में से शून्य वस्तुओं का चयन केवल एक तरीके से होता है।
Q. nCn का मान क्या होता है?
Ans. nCn = 1, क्योंकि सभी n वस्तुओं का चयन केवल एक तरीके से होता है।
Q. क्या nCr = nC(n−r) होता है?
Ans. हाँ। यह संचय का सममिति गुण है, क्योंकि r वस्तुओं का चयन करना n−r वस्तुओं को छोड़ने के समान है।
Q. 6 व्यक्तियों में से अध्यक्ष और सचिव चुनने के कितने तरीके हैं?
Ans. 6P2 = 6 × 5 = 30 तरीके, क्योंकि दोनों पद अलग-अलग हैं।
Q. 6 व्यक्तियों में से 2 सदस्यों की समिति कितने तरीकों से बन सकती है?
Ans. 6C2 = 6!/(2!4!) = 15 तरीके।
Q. तीन अलग-अलग अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
Ans. 3! = 6 तरीकों से।
Q. समान वस्तुओं वाले क्रमचय में फैक्टोरियल का उपयोग कैसे होता है?
Ans. यदि कुल n वस्तुओं में कुछ वस्तुएँ समान हैं, तो अलग-अलग व्यवस्थाओं की संख्या n!/(p!q!... ) होती है, जहाँ p, q आदि समान वस्तुओं की संख्याएँ हैं।
Q. वृत्ताकार क्रमचय का सामान्य सूत्र क्या है?
Ans. n अलग-अलग वस्तुओं को वृत्त में व्यवस्थित करने के (n−1)! तरीके होते हैं, जब घूर्णन से बनी व्यवस्थाएँ समान मानी जाती हैं।
Q. क्रमचय और संचय का वास्तविक जीवन में क्या उपयोग है?
Ans. इनका उपयोग बैठने की व्यवस्था, समिति गठन, पासवर्ड, चयन प्रक्रिया, प्रतियोगिता और संभाव्यता की गणना में होता है।